ЭБ
Нефть
и
Газ
Главнaя
Oглавление
Пoиск +
Инфoрмация
Бесплатно
Энциклопедия

Регистрация
Книга: Главная » Добыча, хранение и транспортировка нефти и газа » Геология » Клингенберг В.N. Лекции о замкнутых геодезических   (Аннотац. )
 
   

  Демонстрационные страницы:     1      2      3      4      5      6      7      8      9      10      11      12      13      14      15      402      403      404      405      406      407      408      409      410      411      412      413      414      415      416 





Предисловие редактора перевода
7
некоторый подход к этой задаче и полагал, что ему удалось доказать существование одной замкнутой геодезической без самопересечений. Биркгоф и Морс отметили ряд пробелов в аргументации Пуанкаре, а недавно выяснилось, что некоторые из его утверждений в общем случае неверны (хотя кое-что этот подход все же может дать; подробнее см. (26) *>). И тем не менее стимулирующее влияние удачной постановки вопроса в статье Пуанкаре оказалось столь важным, что многие считают Пуанкаре создателем вариационного исчисления в целом. Это неверно: вариационные соображения у Пуанкаре не играли значительной роли — в основной части своей статьи он пытался использовать соображения из теории динамических систем, связанные с «типичностью» определенных ситуаций. Трактовка геодезических линий как траекторий геодезического потока фактически была известна и до Пуанкаре, однако он, по-видимому, был первым, кто более или менее последовательно и явно пользовался ею **'.
Открытие современного вариационного подхода к задаче о замкнутых геодезических принадлежит Биркгофу, доказавшему, что на поверхности, гомеоморфной сфере, всегда существует по крайней мере одна замкнутая геодезическая. После этого в 20—30-е гг. в работах Морса [2] и Люстерника и Шнирель-мана [1], [2] был выработан характерный для вариационного исчисления в целом общий прием исследования и даны приложения к задаче о замкнутых геодезических. (Самым ярким приложением было найденное Люстерником и Шнирельманом доказательство того факта, что на поверхности, гомеоморфной сфере, всегда существуют три замкнутые геодезические без самопересечений.) Общий прием состоит в изучении изменения топологических свойств «области меньших значений» /-1 (]—оо, к]) для рассматриваемой функции f (последняя может быть и функционалом, рассматриваемым как функция на некотором функциональном пространстве) с изменением «уровня» к. В «хороших» случаях изменения топологических свойств f_1(]—°°,к]) происходят лишь при прохождении х через критические значения / и оказываются определенным образом связанными со свойствами соответствующих критических точек.
*] Ссылки в круглых скобках относятся к примечаниям редактора в конце книги. Помимо (26) см. также Аносов [5].
**' У Адамара такая трактовка выступает не столько в ходе исследования, сколько в замечаниях по поводу полученных результатов (хотя в наши дни геодезические на многообразиях отрицательной кривизны чаще всего рассматривают именно с этой точки зрения). Конечно, у Якоби при интегрировании уравнений геодезических на трехосном эллипсоиде явно использовалась соответствующая гамильтонова система (хотя возможно и более геометрическое изложение того же вопроса),





 


Центр Информационных Технологий